关于截面方位空间，需求证明其关于某种界说的加法和乘法运算关闭，且满意上述运算律。

  至此，能够明晰看出不同坐标系下应力张量与不同基下线性改换矩阵的等价联系。

  再进一步，关于线性改换的了解都是根据σijnij=pi的方式而推出的，好像还眉飞色舞谨慎。比方，没有证明截面方位、截面应力能做成一个线性空间，也没有证明从截面方位到截面应力的改换是线性改换。

  设V是一个非空集合，R为实数域。安全关于V中恣意两个元素α，β，V中总有仅有的一个元素γ与之对应，称为a与b的和，记作γ= αβ；又关于R中任一数λ与V中任一元素α，V中总有仅有的一个元素δ与之对应,称为λ与α的积，记作δ=λα。

  而且这两种运算满意以下八条运算规则（设α，β，γ为V重元素，λ，μ为R重元素）：

  T(β1)表明S2坐标系下β1截面上的应力，对应的是大局坐标系下y截面的应力，即

  也便是P点在S1、S2坐标系下的应力张量（因为表明上的原因，生疏为转置联系）。

  在这种加法和数乘运算界说下，首要明显对元素是关闭的，其次简略验证就可知对加法两个运算律、数乘的三个运算律也是满意的。

  n,x表明截面法线与坐标轴x的夹角，其他以此类推。n1,n2,n3取值规模为[-1,1]，且满意平方和为1。明显惯例的加法和数乘运算不满意关闭条件。

  考虑到截面空间的描绘特色，选用球坐标系下视点的惯例加法和数乘运算来界说。

  为了加深对应力张量是线性改换的矩阵的了解，进行如下核算：从线性改换的视点求出改换矩阵（即应力张量），并验证其类似性。

  S1、S2为大局肯定坐标系下的两个部分坐标系（他们由截取P的两两彼此笔直的平面的法向决议），S1和大局坐标系重合，S2为大局坐标系绕z轴逆时针旋转90°得到。P点应力状况在S1、S2系下，别离能够用一个应力张量表明，而且是类似的。接下来就从线性改换视点核算阐明。

  这一部分是对第二部分的验证阐明和谨慎性证明，主要是线性空间与线性改换的内容，由此也可领会相关常识的贯通性。

  本文主要是对资料成形相关专业学习进程中对一些问题的考虑，或许并不深入，但却是自己从初学时的利诱到后来慢慢地知道的进程。相关还有：Levy-Mises理论的考虑

  前面两部别离离介绍了应力张量的根底和对齐实质的考虑，终究得出了应力张量的实质是一个线性改换的定论。这一部分是对上述定论的验证核算和关于谨慎性方面的弥补证明。