第三章 应力第1节 Cauchy应力张量应力张量的主值、最大切应力、八面体应力 1. 应力张量Cauchy 应力张量的主值 Cauchy 应力矢量的法向重量：应力张量 T 存在着三个实数的主值，称为主应力在接连体中，法向应力重量应为有限值某点处的主应力就是过该点的一切微元面上法向应力重量的极值或驻值?在单位方向矢量 n 满意：带束缚的极值问题 1. 应力张量将三个主方向单位列向量顺次摆放，构成一个正交矩阵：在主平面上，剪应力为零主应力和主平面 1. 应力张量假如单元体的某个外表无切应力效果，那么这个外表必定构成一个主平面，该外表上的法向应力也就是一个主应力?在二维情况下，这三组正交曲面族退化为两组正交曲线族，称为主应力迹线，主应力迹线上某点的切线方向，就是过该点的主应力方向悬臂梁的一种主应力迹线. 应力张量Cauchy 应力张量 T 的不变量：Cauchy 应力张量 T 可表示为：均匀正应力应力偏量均匀正应力是一种球应力状况各个方向法向应力都持平各个方位微元面上均无剪应力 关于各向同性资料，均匀正应力效果的效应是微元体体积的改变，而没有形状改变；应力偏量效果的效应是微元体形状的改变，而没体积的改变 1. 应力张量例题 物体某点处应力张量 T 的重量矩阵为 ， 求 T 的三个不变量。 解：依据矩阵不变量的公式，可直接得到： 1. 应力张量例题 物体 P 点处的应力张量 T 在某个坐标系下的重量矩阵为求：① 求 T 的主值及不变量； ② 求偏应力的主值及不变量。 ① T 的主值满意特征方程解：不变量：主值： 1. 应力张量② 由偏应力界说可得： 在 T 的主轴坐标系下：T 的重量矩阵为对角阵 球应力重量矩阵为对角阵 T ′ 的重量矩阵也为对角阵偏应力 T ′ 与 T 有相同的主方向 T ′ 的主值： 不变量 1. 应力张量?最大切应力 ?切应力仅为 n 的函数，且方向矢量 n 一定要满意条件： 1. 应力张量使 τ 取极值的 n 必定满意引证 Lagrange 乘子 λ，结构一个新函数即：消去乘子 λ，可得： 1. 应力张量τ 对应的极值：留意： 1. 应力张量最大切应力面与主平面的方位联系切应力取极大值的微元面的法线方向与榜首主轴和第三主轴成 45°的夹角法向正应力： 1. 应力张量八面体应力 若微元面的法线方向与应力主轴成等角，这样的微元面有八个，它们能构成一个等八面体，该微元面上的应力即八面体应力 某点邻域内的正八面体 在主轴坐标系下，与三个主轴成等角的单位方向矢量 n 的重量满意： 这些微元面上，Cauchy 应力矢量： 1. 应力张量法向重量：切向重量：八面体上的切应力与第四强度原则的等效应力 σeq4 严密相关： 1. 应力张量例题 若应力张量重量矩阵为 ，求最大切应力及八面体应力。解：?特征方程：最大切应力：八面体正应力：八面体切应力：

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